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题目

书面题目

在$\triangle ABC$中,$BE$是一条高线,$H$为垂心。$P$为其外接圆上一点,作平行四边形$BPAQ,APCR$。设$QA\cap RH=X$,连$EX$,求证:$AP//EX$。

分析

画图

L@~YJ_B5LZ_2OQLTJ_AQNHG.png

按步骤分析

如果分析中出现了图中未给定的点,线段,圆,请查看最终图(在本文最下)

第一步 转化平行->四点共圆->证明垂直

如何证明$AP//EX$?

查看思想过程

平行,这一条件有很多的处理方式。有可能用同位角等三线八角的知识,也有可能去直接使用平行四边形去倒,那么这边用哪种方法呢?

直接用平行四边形

题目中已知的两平行四边形没有和$AP,EX$有任何互相联系的边,因此平行四边形明确放弃。

利用同旁内角互补

方法:在一开始去探究一方法的时候,有可能会因为其看上去不行而废弃,但是有时若可以从方法中找出题目中其它要素的联系,进而实现要证明结论的等价转换,这方法便可一试。

试一试同旁内角互补,那么

特殊的发现

依据精准作图容易发现$A,H,E,X$四点共圆,而其等价于

因此要完成平行到四点共圆的转化,仅仅需要证明

即可。

尝试利用圆、平行四边形、垂心等条件倒角,容易得到上述$(1)$结论。

查看得到$(1)$的步骤

注意到

因此$(1)$成立。

如何证明四点共圆呢?容易得到

于是只需要去证明

即可完成命题的证明。

第二步 证明垂直->创造初始垂直->创建平行四边形

如何证明垂直呢?

查看思想过程

证明垂直,我们首先要发现题目中的垂直。

查看如何创建垂直

题目中有现成的垂心,但是并没有什么用。依靠垂心去倒角似乎是徒劳。那么,如何去创建这么一垂直呢?我们首先要知道如何去拿创造出的垂直导出要证明的垂直。

这样,自然想到:

可以利用题目中的平行四边形或者添加平行来转换边的位置,从而达到由已知的垂直证明未知的成效。

$AX$是好转化的,题目中提供了现成的平行四边形,因此

从而想到,是否可以在$P$这边作垂线,来证明垂线和$XH$平行呢?

由于$B,P$是圆上一点,那么这一条垂线一定经过点$B$的对径点$D$,因此作出点$D$,连$DP$,可知

创造垂直之后,我们需要做的就是去证明

要证明平行,这是应想到还没有被用到的另外一平行四边形$APCR$了。

想一想,如何去建立平行四边形$APCR$和需要证明的$PD//HX$之间的联系?

注意平行四边形的一些要素!

查看如何建立联系

想办法去证明平行,可以想到去找平行四边形。在证明$PD//HX$,依据精准作图发现$DP,HR$相等,因此仅仅需要证明四边形$DPHR$是平行四边形即可。而四边形$DPHR$和已知的平行四边形$APCR$都有同一基本元素——对角线$PR$,因此想到平行四边形对角线互相平分。

第三步 最后证明平行四边形

如何证明四边形$DPHR$是平行四边形呢?

查看思想过程

依据之前的分析,我们容易知道,由于四边形$APCR$是平行四边形,所以可知要连$PR$交$AC$于点$M$,下面仅仅需要证明的是$DH$经过点$M$且$DM=MH$。如何证明这条件呢?

提示:尝试再找一平行四边形作桥梁

查看如何寻找平行四边形

相比较$DM=MH$,$AM=MC$条件是已经知道的。那么若能证明四边形$AHCD$是平行四边形,之前的条件得到了证明,题目也得到了解决。

下面证明四边形$AHCD$是平行四边形。

由于$AH⊥BC$,再有圆周角定理,$DC⊥BC$,因此$AH//CD$。

同理可以证明$AD//HC$,因此有了这平行四边形,这就完成了证明。

第四步

整理表述即可。

最终图(部分步骤、分析)

D8_UPF96__IF@~YG1QPQUWG.png

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