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题目

书面题目

在锐角$\triangle ABC$中,$D,E$是$BC$上的点,$\triangle ABC,\triangle ABD,\triangle ADC$的外心分别是$O,P,Q$。证明:1. $\triangle APQ\sim\triangle ABC$;2. 若$EO⊥PQ$,则$QO⊥PE$。

分析

画图

image.png

按步骤分析

如果分析中出现了图中未给定的点,线段,圆,请查看最终图(在本文最下)

第一步 解决第一小问

如何证明$\triangle APQ\sim\triangle ABC$?

查看思想过程

注意到给出的几个条件,仅有外接圆可利用,那么要证明两三角形相似,只能进行倒角。仅需要得到两个角相等即可,那么如何选择呢?

查看如何选择两个角

圆和角有着密不可分的关系,因此选择的角应和圆有关。$P,Q$均为三角形的外心,因此考虑证明下面两个结论:

两个结论是对称的,仅需选择一个即可。

注意到$\angle ABC=\angle ABD=\dfrac{1}{2}\angle APD$,要证明$(1)$成立,仅需证明$PQ$平分$\angle APD$即可。而又有$AP=PD$,仅需证明垂直,或者平分。

查看如何证明

引理:相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

事实上,有$AP=PD,AQ=QD$,即可证明$PQ$垂直平分$AD$。从而$(1)$成立,这样第一小问就解决了。

第二步 第二小问:两个垂直->初步共圆->探索帮助证明的共圆

如何处理第二小问中给出的:若$EO⊥PQ$,则$QO⊥PE$?

查看思想过程

碰到题目中这种「悬空垂直」,我们通常想到延长。因此,试试延长,看看可以发现什么?

查看延长及其发现

延长$EO\cap PQ=S,QO\cap PE=T$,则由条件可以知道$\angle ESQ=\dfrac{\pi}{2}$。假设结论成立,那么$\angle QTE=\dfrac{\pi}{2}$,也就等价于$S,T,E,Q$四点共圆。于是问题变为:如何证明$S,Q,T,E$四点共圆?

如何选择思路证明共圆呢?对角互补似乎无法转化,而圆周角定理的逆定理却值得一试,这里也不妨考虑和直角有直接关系的角,即证明

那么如何去转化剩下的角呢?

提示:转化角,不妨尝试新的四点共圆。

查看如何转化

根据之前的提示,通过精准作图容易发现$A,P,O,Q;B,P,E,O$分别四点共圆,这样的话

又由引理:连心线垂直平分公共弦可知

这样就证明完毕了,于是目标转为证明这两个四点共圆。

第三步 第二小问:证明帮助证明的共圆->题目证毕

如何证明$A,P,O,Q;B,P,E,O$分别四点共圆呢?

查看思想过程

在这个时候,我们可以发现,证明$A,P,O,Q$这个四点共圆,采取对角互补更容易一些,理由是对角$\angle APO,\angle AQO$和外心$P,Q$很有关,证明它们互补即可。

提示:有时,需要的互补恰好是题目中「天然」的互补。

查看如何证明第一个四点共圆

考虑题目中天然的$\angle ADB+\angle ADC=\pi$的关系,可知

又由于

于是

因此$A,P,O,Q$四点共圆。

考虑证明下一个$B,P,O,E$四点共圆,可以使用一样的方法。只不过需要利用垂直的条件变化一下。

查看如何证明下一个四点共圆

由于$EO⊥PQ$,并且$AD⊥PQ$,因此$EO//AD$,于是

而利用之前的方法

因此

于是$B,P,O,E$四点共圆。这就完成了证明。

第四步

整理表述即可。

最终图

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