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题目

书面题目(2019全国高中数学联合竞赛A卷加试第一题)

在锐角$\triangle ABC$中,$M$是$BC$的中点。$P$在$\triangle ABC$内满足$AP$平分$\angle BAC$,直线$MP$分别与$\triangle ABP,\triangle ACP$的外接圆交于$D,E$两点。求证:若$DE=MP$,则$BC=2BP$。

注:本题非常容易,甚至初二普通学生就可以看懂分析。

分析

画图

按步骤分析

如果分析中出现了图中未给定的点,线段,圆,请查看最终图(在本文最下)

第一步 分析问题->待选目标->确定目标

注意到要证明的条件是$BC=2BP$,如何转化这个条件?

查看思想过程

二倍的关系,于是想到了$M$是中点的条件。

查看如何转化二倍的关系

由于$M$是中点,有$2BM=2MC=BC$,因此

这里$\lor$符号表示左边右边成立一个即可。

因此我们现在有了目标,就是去证明两组线段相等其中的任意一组。现在我们确定一组去探究。

注意这边选择哪一组都没有问题,因为题目都要经过分析的过程,这边为了增加分析的条理性,选择并非为解法的那一组。

我们不妨选择$BM=BP$,把这个结论当成条件用分析一下,最终发现要否定掉这一个选择。

查看否定该选择的理由

目前没有可用的边的关系,那么就去倒角。

由于$BP=BM$,所以$\angle BPM=\angle BMP$,因此$\angle APB=\angle AMC$。

这兜一圈子,毫无用处,仍然通过角将$BP=BM$这个条件和$MC=BP$给连接上了。因此假定$MC=BP$。

于是就确定了需要探究的对象:$MC=BP$。

第二步 选择合适的方法证明线段相等

如何选择方法证明$MC=BP$?

查看思想过程

证明线段相等的性质很多,是线段比例?是相似?还是全等?

在面对这么多选择之下,我们应该先放下问题,去倒一倒题目中的性质

查看倒题中性质的过程

题目中给出了两个圆,明摆着圆周角定理。

明摆着连$BD,CE$,于是

由于$AP$平分$\angle BAC$,于是

惊奇地发现$\angle CEP$就是$\angle CEM$,这样就把要证明的线段相等放到了对应角上。因此我们最终确定要利用全等三角形

现在想去证明$\triangle DBP\cong \triangle ECM$。

第三步 证明三角形全等

如何证明$\triangle DBP\cong \triangle ECM$?

查看思想过程

现在梳理一下已知的条件有

只有一组角,经过分析,发现没有角可以利用了,那么必须得到边的相等关系,而$BP=MC$是要证明的,也就是要证明出以下引理

其中引理 1 是显然的。

查看引理1的证明

由于$DE=MP$,同时加上$EP$,则得证。

如何证明引理 2 呢?

提示:注意$M$是中点的条件

查看引理2的证明

利用初二就学了的「倍长中线」,在$EM$的延长线上取一点$Q$使得$MQ=ME$,连接$BQ$,显然$\triangle EMC\cong\triangle QMB$。因此$EC=BQ$。

注意到

而又有

因此引理2成立。

第四步

整理表述即可。

最终图

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