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概述

本文也是高联训练题系列的文章之一,一样会按照本系列的解题方式进行分析。

平均值不等式与柯西不等式的介绍

先来介绍一下平均值不等式与柯西不等式。

平均值不等式

对于 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{R^*}$,有

柯西不等式

对于 $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n\in\mathbb{R}$,有

柯西不等式有下面两种常见变形:

变形一

变形二

平均值不等式和柯西不等式是高联中的重要不等式,平均值不等式用来解决和与积的问题,而柯西不等式用来解决平方、和与积的问题。下面来看一道有关平均不等式与柯西不等式综合运用的题目。随后有一个关于平均值不等式的简单习题,读者可以在评论区交流思路。

题目

书面题目

若$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R^*}$,记

  • 求$S_n$的最小值;
  • 若$\sum\limits_{i=1}^nx_i^2=1$,求$S_n$的最小值;
  • 若$\sum\limits^n_{i=1}x=1$,求$S_n$的最小值。

分析

第一小问解决

如何求没有任何附加条件下,$S_n$的最小值?

查看思想过程

看到加号两端有互为倒数的 $x_i,\dfrac{1}{x_i}$,果断使用平均值不等式(这是送分的)。

查看具体证明

注意到

第二小问-利用平方条件

第二小问给出了一个限定条件:

怎么去利用呢?

查看思想过程

要利用平方,我们得先得到平方。

提示:想一想,在$S_n$中哪里有平方?

查看获得平方过程

一个显然的想法就是说将$S_n$的平方拆掉,这样$x_i^2$的项就诞生了。于是可以得到

注意到青色的项

现在我们考虑如何处理粉色的项。

如何处理 $\color{pink}\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{x^2_i}$?

想想看有没有将分母单独求和的不等式?

查看如何处理

注意到柯西不等式的变形形式一,则有

于是

第三小问-利用和的形式

如何利用和的形式呢?

查看思想过程

要构造一次项的和,$S_n$中的平方必然很难办,因此需要将和号想办法放到和$x_i$一起。如何达到这个效果呢?

之前提到过,柯西不等式可以帮助积、和与平方之间的关系的转化,对这里是否适用?

查看一次项的和的形式的推导

考虑到 $S_n$是平方的和的形式,考虑再添一项平方的和,使得可以利用柯西不等式。而这里选择 $1$ 无疑是最佳的。

查看选择 $1$ 的原因

选择 $1$ 作为另外一个平方的和,是因为这样只会给$S_n$乘上此题中的常数$n$,方便后面处理;另外,$1^2=1$,而且$\forall a\in \mathbb{R},1\cdot a=a$,这样非常好处理。

以后在构造柯西不等式另外一项的时候,也可以使用 $1$

$\textbf{REMARK}$ 平均值不等式也有类似的构造方式,一般在去分母的情况下很常见(见习题)。

后面的两种颜色项的处理可以采取第二小问的形式了,注意最后再除以一个$n$。

查看最终过程

因此

习题

习题

求 $\forall k\ge 2$,代数式

的最小值。

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