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概述

为什么叫做「入门训练题」呢?因为这个训练题系列的难度和高中联赛的差距还是比较大的,但是也可以培养在解数论题目中的特殊思路。

由于数论还较为强调表述的要求,故在分析中的规范解答尽可能做到了规范。

题目

书面题目

考虑集合$S=\lbrace m\mid m\in\mathbb{N^*},m\texttt{的每个素因子都小于} 10\rbrace$。求最小正整数$n$,使得$S$中的任意$n$元子集中都存在$4$个不同的数,使得其乘积为完全平方数。

分析

第一步 提出猜想

如何入手题目?

查看思想过程

这是一道数论的组合极值问题,组合极值问题需要构造和证明,因此我们不妨先猜一下$n$的最小值,然后尝试去证明。

提示:要求$n$的最小值,我们可以先列出几个不满足题目的正整数,记为$m$个,那么$n\ge m+1$。

查看举例

注意到下列各数

其中任意四个数都非完全平方数,因此$n\ge 9$。

其实我们在刚刚处理的过程中已经明确了若$a\in S$,则$a=2^{\alpha}\times 3^{\beta}\times 5^{\gamma}\times 7^{\theta}$,其中$\alpha,\beta,\gamma,\theta\in\mathbb{N}$。

第二步 从问题两端分别探究证明方法->初步建立思路

如何处理结论「存在$4$个不同的数,使得其乘积为完全平方数」?

查看思想过程

一般针对这种问法,我们可以肯定过程的最后几步会出现抽屉原理。

注意到题目中包含的关键词是「完全平方数」,即其标准分解式中所有素因子的指数都为偶数;同时注意到题目中的$4$数之积的表述,如何利用这两个问题的附加条件去选择合适的方法呢?

查看选择方法过程

由于这里可能包含的素因子仅有 $2,3,5,7$,所以我们可以考虑采用分解式的方式去解题。

另外,由$4$数之积是$4$个数相乘,也可以理解为$2$个数相乘的形式,故我们可以从两数之积的方面去考虑。

由上述分析,我们首先引入符号明确一下解题的对象。

查看建立符号过程

设$\lbrace m_1,m_2,\cdots,m_9\rbrace \in T\subsetneq S$,从而由第一步的分析,$m_i=2^{\alpha_i}\times3^{\beta_i}\times5^{\gamma_i}\times7^{\theta_i}(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i,\theta_i\in\mathbb{N};i=1,2,\cdots,9)$。

现在由于之前选择的方法,考虑$T$中所有不同两数之积,即取$a,b,\in T$,$a\neq b$,建立集合$\lbrace ab\mid a,b\in T,a\neq b\rbrace$。

第三步 考虑四数之积的完全平方

如何考虑四数之积$abcd$是否为一个完全平方数?

查看思想过程

有显然的一个想法如下:

直接考虑$abcd$的标准分解式

也就是设出$abcd$的标准分解式,满足每一项的指数均为偶数。由于之前的分析,考虑抽屉原理,发现难以入手,于是果断放弃这一思路。

那么,怎么去考虑呢?

提示

之前说过,可以考虑两数之积,而两数之积一定有平方部分和非平方部分,如果存在一组乘积$ab$和$cd$,其平方部分相乘和非平方部分相乘,一旦两积的非平方部分相等,那么$abcd$是完全平方数。

查看如何考虑

考虑记号$\operatorname{Sq}ab$代表$ab$的完全平方部分,$\operatorname {Nsq} ab$为$ab$的非完全平方部分,则

易知

这样,若$abcd$为完全平方数,则

仅需说明一定存在$ab$和$cd$使得$(*)$成立即可。

第四步 终究回用抽屉原理

如何说明一定存在$ab,cd$,使得$\operatorname{Nsq}ab=\operatorname{Nsq}cd$呢?

查看思想过程

容易知道可以使用抽屉原理,注意$ab,cd$的取法和$\operatorname{Nsq}ab,\operatorname{Nsq}cd$的取法。

查看如何运用抽屉原理

对集合$\lbrace ab\mid a,b\in T,a\neq b\rbrace$而言,有$\mathrm{C}_9^2=36$个元素,每一个元素都对应一个考虑顺序的四元数组$\lbrace p,q,r,s\rbrace$,这样的四元数组共有$2^4=16$个。

由抽屉原理可知集合$\lbrace ab\mid a,b\in T,a\neq b\rbrace$中可以选出了不同元素$ab,cd$使得两元素公用同一个四元数组$\lbrace p,q,r,s \rbrace$,这样而言,就有

从而这样的$abcd$为完全平方数。

第五步

整理表述即可。

Danger

贴吧网友提出本文有关抽屉原理的论证出现了致命的错误,原因在于既然$\text{C}_9^2>2^4$可以说明有$ab,cd$满足$\operatorname{Nsq}ab=\operatorname{Nsq}cd$,然而$\text{C}^2_8,\text{C}^2_7>2^4$也可以说明,但这和原来的初步思考直接排除的$8$个元素矛盾!

原因在于$n=7,8$时满足$\operatorname{Nsq}ab=\operatorname{Nsq}cd$的$a,b,c,d$一定存在相等的元素,因此与$T$集合的互异性矛盾,因此不可有这样的 $a,b,c,d$。但是,另一方面,如何去说明论证$n=9$时一定$\exists a,b,c,d\in T$,$a,b,c,d$各不相等,满足$\operatorname{Nsq}ab=\operatorname{Nsq}cd$呢?如果能解决这个问题,这道题也就结束了。

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