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引言

符号约定

  • $a \mid b$ 表示 $a$ 整除 $b$。
    • $\gcd(a,b)$ 表示 $a$ 与 $b$ 的最大公约数。
    • $\gcd\limits^n_{i=1}a_i$ 表示 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的最大公约数。也可记为 $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。
    • $a\equiv b\pmod{p}$ 表示 $p\mid a-b$。也可表示 $a\mod{p}=b\mod{p}$,其中 $\mod{}$ 为取余运算。

引言

本篇文章探究了勾股数的规律,最后得到了有关勾股数的两个结论。本文从数论中不定方程的角度通过解勾股方程得到关于勾股数的一些性质。笔者在探究勾股数规律的过程中通过枚举法进行探究,提出了一些猜想,然后用数学的方法最后得到了本文的引理 II,结论 1,结论 2。

问题求解

定义 I

勾股数为满足下述方程

的正整数数组。该方程被称为勾股方程。

引理 I

若 $a\equiv r_1\pmod{p},b\equiv r_2\pmod{p},0\leq r_1<a,0\leq r_2<b$,则

引理 I 证明

设 $a=pd_1+r_1,b=pd_2+r_2$,则 $a+b=p(d_1+d_2)+r_1+r_2$,因此 $a+b \equiv r_1+r_2\pmod{p}$。减法,乘法的情况类似处理即可。$\boxed{}$

注意到,对于勾股方程的解 $(x,y,z)$,若 $\gcd(x,y)=d$,则由引理 I 得 $d^2\mid z^2$,也就有 $d\mid z$,因此可以只探究所有满足 $\gcd(x,y)=1$ 的数组 $(x,y,z)$,再去乘整数 $d$ 就可以得到勾股方程的所有整数解。

定义 II

对于勾股方程的解 $(x,y,z)$,我们称当 $\gcd(x,y)=1$ 时,由上面的分析可得到也就是 $x,y,z$ 互素时,这样的数组称为本原勾股数组。

下面我们来求解勾股方程的所有本原勾股数组解。

引理 II

本原勾股数组 $(x,y,z)$ 中 $x,y$ 必恰有一个偶数。

引理 II 证明

首先根据定义可知 $x,y$ 不全为偶数。若 $x,y$ 均为奇数,则 $z^2=x^2+y^2\equiv 1+1=2\pmod{4}$,而完全平方数模 4 时只能与 $0$ 或 $1$ 同余,矛盾。于是引理 II 成立。$\boxed{}$

不妨设 $y$ 为偶数,则 $x,z$ 均为奇数。则由勾股方程得 $y^2=z^2-x^2$,所以

引理 III $\gcd(a,b)=\gcd(b,a+b)$。

引理 III 证明

设 $\gcd(a,b)=d$,则设 $a=dp,b=dq(\gcd(p,q)=1)$,则 $a+b=dp+dq=d(p+q)$,于是 $\gcd(b,a+b)=\gcd(dq,d(p+q))$,可知 $\gcd(q,p+q)=1$,于是 $\gcd(b,a+b)=\gcd(a,b)=d$。$\boxed{}$

考虑 $\gcd\left(\dfrac{x-z}{2},\dfrac{x+z}{2}\right)$,有

所以 $\dfrac{x-z}{2},\dfrac{x+z}{2}$ 均为完全平方数。则设 $\left(\dfrac{x-z}{2},\dfrac{x+z}{2}\right)=(m^2,n^2)$,因此

由 $\gcd(m^2,n^2)=1$ 得 $\gcd(m,n)=1$。又由 $x,z$ 均为奇数可知 $m,n$ 一奇一偶。

综上所述,我们得到

结论 1

若 $m,n\in\mathbb{N^*},m<n,\gcd(m,n)=1,m,n$ 一奇一偶,则勾股方程的所有本原解为

结论 2

勾股方程的所有整数解就是勾股方程的所有本原解乘上某个正整数的结果。

引理 I,引理 III 都是数论中常见的结论。仅仅给出了简单的证明。

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