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题目

书面题目(2020全国高中数学联合竞赛A卷加试第一题)

在等腰$\triangle ABC$中,$AB=BC$,$I$是内心,$M$是$BI$的中点。$P$是$AC$上一点使$AP=3PC$,$PI$延长线上一点$H$满足$MH⊥PH$,$Q$是劣弧$AB$的中点。求证:$QH⊥BH$。

分析

画图

按步骤分析

如果分析中出现了图中未给定的点,线段,圆,请查看最终图(在本文最下)

第一步 从图中寻处理方式

先放下题目不看,单看条件。

题目的条件有点多,如何利用好这些条件呢?

查看思想过程

首先,$P$是$AC$靠近$C$的四等分点,这个条件可以如何使用?

提示:中点是好处理的,我们需要中点的条件。

查看四等分点处理方法

我们可以想到,找到$AC$的中点,那么$P$就成了中点和$C$连线段的中点。

而$\triangle ABC$是等腰三角形,其顶角的角平分线和底边上的中线重合,因此我们延长$BI$交$AC$于点$N$,则$P$是$CN$的中点。并且此时$\angle INC=\dfrac{\pi}{2}$。

问题中看上去难以处理的条件已经处理完了,我们再看看有没有熟知的结论。

查看熟知结论

$Q,I,C$三点共线。因此,连接$QC$,熟知$I$在$QC$上。

自此,我们已经初步研究了图形,找到了一些辅助线的作法。

第二步 位置关系垂直->数量关系相等+四点共圆

题目中$QH⊥BH$如何转化?

查看思想过程

这个时候,我们需要探究有关于题目中的垂直。

方法:在遇到垂直的转化时,可以想到先证另一个角垂直,再倒等量关系或者通过证明共圆直接使用圆周角定理。

查看垂直如何转化

拿起工具——量角器,看一看图中还有什么性质?哪里看上去也是一个直角?

对,$\angle QMB$。并且通过精确作图可知,$Q,H,B,M$四点共圆。只要证明这两个结论,题目就解决了。

我们再来考虑为什么$\angle QMB=\dfrac{\pi}{2}$。

提示:注意$M$是中点的条件。

查看如何处理直角

注意到$M$是中点,若$\angle QMB=\dfrac{\pi}{2}$,那么$\triangle QBI$就是等腰三角形,于是直角又转化为如何证明

第三步 等量的证明

如何证明$\angle QBI=\angle QIB$?

查看思想过程

方法:证明角的等量关系,若直接的倒角不行,可以考虑将角拆分成几个小角的和分别倒角。

查看如何倒角

注意到$\angle QIB=\angle IBC+\angle ICB$。现在看看$\angle QBI$是否也可以分成两个角之和?如果有多种选择,我们不妨再看看$\angle IBC,\angle ICB$的转化。

由于$I$是内心,于是$\angle IBA=\angle IBC$,这样就转化了一个小角,另外显然就是要去证明$\angle QBA=\angle ICB$,而又注意到$\angle ICB=\angle ICA=\angle QCA$,连接$QA$后发现$\angle QBA=\angle QCA$,这样等量关系就证明完毕了。

第四步 回来看四点共圆

回到四点共圆上面去,怎么去证明呢?

查看思想过程

我们有两个路子去证明$Q,B,M,H$四点共圆。

证明对角互补,即$\angle HMI=\angle BQH$

发现刚开始还是可以去倒一倒角的,$\angle HMI=\angle IPC$,要证四点共圆,只要证 $\angle IPC=\angle BQH$,仍然很困难。因此靠证明对角互补来证明四点共圆,这条路行不通。

通过圆周角定理的逆定理证明

圆周角定理的逆定理证明又有了两条路可以走。因此,为了不走弯路,让我们回头看看如何处理题目中剩下的条件。

方法:在题目只差一个结论就证明完成的时候,可以尝试再利用剩下的条件推推性质

查看利用剩下条件推性质的过程

之前的延长$BI$给我们增加了一个中点的条件,其实还有一个直角——$\angle INP$,因此我们可以得到

为了利用$P$是$CN$中点和$M$是$BI$中点的条件,我们可以通过中点来转化比例

由相似可以得到

这时候又出来了一个新的相似(还差一个夹角可以从之前的相似直接得到)

如果不确定什么时候结束推性质的过程,就一直有多重目标地推性质。事实上,在这里已经可以得到需要证明的是$\angle BQM=\angle BHM$了。

继续推性质,注意到$QM$平分$\angle BQI$,且$\angle BQI=\angle BAC=\angle BCA$。

而$\angle BQM=\dfrac{1}{2}\angle BQI=\dfrac{1}{2}\angle BCA=\angle ICP=\angle BHM$。

这样四点共圆就证毕了,于是题目也完成了。

第五步

整理表述即可。

最终图

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