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题目

书面题目

在$\triangle ABC$中,$\odot I$ 是$\triangle ABC$的内切圆,$D,E$分别是$BC,AC$上的切点。点$A$在直线$BI$上的投影为$H$,连接$AH$。求证:$D,H,E$三点共线。

分析

画图

先把图画出来。

image

按步骤分析

如果分析中出现了图中未给定的点,线段,圆,请查看最终图(在本文最下)

我们需要明确解题的方式。

第一步 三点共线 -> 数量关系(Problem:如何得到两角互余的数量关系?)

如何转化题目中的「三点共线」?

查看思想过程

解决三点共线,我们可以考虑两种入手方式。

从定理入手

可以采用梅涅劳斯定理的逆定理?

梅涅劳斯定理的逆定理

梅涅劳斯定理的逆定理需要很多的线段比例关系,而线段比例恰恰是题目中最缺乏的那一个定理。

从定义入手

连接$DH,HE$。

可以去尝试证明若干个角之和等于$\pi$?

定义

确实可以,而且注意到$\angle AHB=\dfrac{\pi}{2}$,因此可以考虑去证明$\angle AHE+\angle BHD=\dfrac{\pi}{2}$。

而要去证明上述结论,可以考虑去将两个角放到同一个直角三角形 当中去!

第二步 两角互余 -> 寻找直角(Problem:如何转换两个角到相应直角三角形?)

如何证明两角互余?可以考虑去将两个角放到同一个直角三角形当中去!

查看思想过程

探寻直角

题目中哪里有直角?

注意那些已经被使用的角

例如$\angle AHB$已经在三点共线到两角互余的转化中使用了,不可以接着使用了。

考虑垂直平分线

要证直角,是否可以考虑垂直平分线?那么自然考虑寻找相等线段利用垂直平分线的判定定理解题。

线段相等的考虑

要去考虑线段相等,我们有$\odot I$,自然就有:

  • 半径相等;
  • 切线长定理,共端点的切线相等。

因此考虑去取另外一个切点$F$,连接$EF,AI,FI,EI$,可以知道$FI=EI,AE=AF$,其它两个切点$D,E$同理。

得到了线段的相等,进而就有了垂直平分线了!三个垂直也就得到了!

第三步 转换角的关系(倒角)

我们分$\angle AHE,\angle BHD$分别倒角。

查看思想过程

先倒一个角(Problem:一个角是好倒的,另外一个角无从下手)

想要倒角,就需要用圆周角定理。那么哪来的圆呢?

查看如何考虑共圆

让我们来考虑共圆。即考虑圆周角定理的逆定理。

注意到$\angle AHI=\angle AEI=\angle AFI=\dfrac{\pi}{2}$,于是有$A,I,F,H,E$五点共圆。

因此在这个圆中使用圆周角定理,有$\angle AHE=\angle AFE$,这样就可以把一个角转化到一个直角三角形里面去了!因此,结论$\iff \angle FAI=\angle BHD$。

那么,我们已经知道一个等量关系,并且清楚结论$\iff \angle FAI=\angle BHD$,如何去证明引出的引理成立呢?

引理的证明

记$DF\cap AF=G$。

拿起工具——量角器去探索图中还有没有与$\angle BHD$相等的角(在这个过程中,也可以加上辅助线)。

在过程结束后,最终发现在连接$FH$后:

如何去证明这个结论呢?

结论的证明

查看证明

注意到

注意到由于两个之前得到的垂直,$\angle GDH+\angle BIC=\pi$,可得

因此 $\angle FAI=\angle FHG=\angle GHD=\angle BHD$。于是证毕。

第四步 结论证毕

整理表述即可。

最终图(辅助线交代,重要过程)

感谢 hhoppitree 的反馈!原先有一处错误,已经改正。

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