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题目

书面题目

设$\triangle ABC$的外接圆为$\odot O$,$\angle BAC$的角平分线与$BC$交于点$D$,$M$为$BC$的中点。若$\triangle ADM$的外接圆$\odot Z$分别与$AB,AC$交于$P,Q$,$N$为$PQ$中点。求证:

  • $BP=CQ$;

  • $MN//AD$。

分析

画图

作图后如下:

按步骤分析

如果分析中出现了图中未给定的点,线段,圆,请查看最终图(在本文最下)

第一步 解决第一小问-证明线段相等

如何证明 $BP=CQ$?

查看思想过程

我们可以有以下两种思路去证明$BP=CQ$。

证明三角形全等

想办法去构造全等三角形,即找相等的角。

证明全等

找不到全等三角形,构造也非常困难,还有可能将题目复杂化,因此放弃构造全等三角形。

倒线段比例关系

可以尝试着建立线段的比例关系去解题。那么,我们迫切需要线段的比例关系。

查看如何得到基本的线段比例关系

注意到$AD$是角平分线,则有角平分线定理

又注意到$BPA,BMD,CDM,CQA$是$\odot Z$的割线,由割线定理得

查看如何得到两线段相等

线段比例

由割线定理得到的$\dfrac{(1)}{(2)}$,与$BM=CM$可得

又有角平分线定理得到的$(*)$,因此 $\boxed{BP=CQ}$。

第二步 从平行得到的启示

考虑要证明的条件:$MN//AD$,可以想到去构造线段平行的关系

查看思想过程

如何构造平行?

注意到$M,N$是中点,自然想到中位线。

那么,如何构造这样的三角形呢?

试试看利用每个中点构造两个三角形并且两中点构造的三角形需要有交流关系

查看如何构造三角形

连接$BQ,CP$,分别取中点$R,S$,连接$RN,NS,SM,MR$。

从而$RN//SM,RN=SM=\dfrac{1}{2}BP,RM//NS,RM=NS=\dfrac{1}{2}CQ$。

想想看,构造出的图形中有没有出现新的有特殊性质的图形

又因为有$BP=CQ$,所以四边形 $RNSM$ 是菱形。

第三步 从菱形再去探索

得到了菱形,自然可以使用菱形的性质。

查看思想过程

注意到要证的是$MN//AD$,而$MN$恰好是菱形$RNSM$的一条对角线,因此$MN⊥RS$,要证明结论成立,只要证$RS⊥AD$。

提示:$AD$是角平分线,可以想想三线合一

注意此处线的密集,谨防倒错等量关系!

引理的证明

设直线$RS$分别交$AB,AC$于点$T,U$,则由$AB//RN,AC//NS$可知

要使用三线合一去证明$RS⊥AD$,只要证 $AT=AU\iff NR=NS$。

再用一下菱形的性质即可得证。

最终图

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