本文最后更新于:2020年6月24日 晚上

引言

我们刚刚学会说话时,父母除了教我们唤「爸爸妈妈」,最先让我们学习的恐怕就是识数了,从 $1$ 数到 $10$,再数到 $100$,这或许就是很多人的数学启蒙。

$1+1=2$ 这个等式是无人不知,无人不晓,基本上只要有 $3-4$ 岁的学习水平就应该充分了解这个等式,但是我们却从来没有想过它的来源是什么。

在有了一点数学知识以后,我们意识到我们该怎么去证明这个结论,今天,我们就通过这一个简单的例子来做这个著名公理系统的导入。

明确定理

其实这个问题就是自然数集的定义问题,怎样的集合被称作自然数集呢?我们不妨先回想算术形成之初。早在远古时代,人们就用绳结表示事物的多少,在彩陶中绘有大量的直线、三角、圆、方、菱形、五边形、六边形等对称图案,在房屋遗址的基地上,亦发现几何图形,表明远古的人们在一定程度上已经具有数和形的概念。那时人们对自然数并没有准确的定义,只是在日常生活中形成了朴素的概念,$1+1=2$,$2+1=3\dots$

然而随着代数学、数论、集合论等学科的发展,人们迫切地需要规范的自然数集的定义,欧几里得的五条公理奠定了欧氏几何学的基础,而现在数学家们同样需要这样的几条公理来为代数学奠基,可以说,这是一个为世界万物编号的过程。1889 年,在数学家戴德金工作的基础上,意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano,1858-1932)在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中提出了一个算术公理系统,这个公理系统有九条公理,其中四条是关于“相等”的,五条是刻画数的,并且以 $1$ 而不是 $0$ 作为基本概念。在后来的著作中,皮亚诺对这一算术系统作了修改,去除了关于「相等」的四条公理,并且以 $0$ 取代 $1$ 作为基本概念,构造了沿用至今的皮亚诺算术公理系统。

Giuseppe Peano

皮亚诺公理由五条公理组成,用非形式化的方法叙述如下:

  • $0$ 是自然数;
  • 每一个确定的 $a$($a\in \mathbb{N}$),都有确定的后继数 $a’,a’’$ 等也是自然数(数 $a$ 的后继数 $a’$ 等于它的后一个整数,也就是 $a’=a+1$);

可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数,因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 $0,1$ 构成的数字系统,其中 $1$ 的后继为 $0$。这不符合我们对于自然数系统的期望,因为它只包含有限个数。因此,我们要对自然数结构再做一下限制:

  • $0$ 不是任何自然数的后继数;

但这里面的漏洞防不胜防,此时仍不能排除如下的反例:数字系统 0, 1, 2, 3,3其中3的后继是3。看来,我们设置的公理还不够严密,我们还得再加一条。

  • 不同的自然数有不同的后继数,如果自然数 $b,c$ 的后继数都是自然数 $a$,那么 $b=c$;

最后,为了排除一些自然数中不应存在的数(如 $0.3,0.22$),同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要,我们加上最后一条公理。

  • 设 $S⊆\mathbb{N}$,且满足 $2$ 个条件:

    • $0 \in S$,
    • 如果 $n \in S$,那么 $n’ \in S$,

    则 $S$ 包含全体自然数的集合,即 $S=\mathbb{N}$。

归纳公理可以用来证明 $0$ 是唯一不是后继数的自然数。

如果只考虑正整数,那么将 $0$ 换成 $1$。

一些自然数运算的性质与定义

加法的定义

我们定义加法是满足以下两种规则的运算:

  • $∀m\in \mathbb{N},0+m=m$;
  • $∀m,n \in \mathbb{n},n’+m=(n+m)’$。

加法性质的证明

$1+1=2$

$$
\begin{array}&1+1&=&0’+1\&=&(0+1)’\&=&1’\&=&2\end{array}
$$

加法结合律


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