本文最后更新于:2020年6月26日 下午

写在前面

这篇文章其实是为了我一个同学写的……

就假设这个人叫做小 C 吧。

写这篇文章的目的其实是让 TA 和更多对初中数学有惧怕或者讨厌心理人了解数学,真正去体会数学,甚至爱上数学

本文不会涉及任何数学专业化的知识,你甚至只需要初中一年级的数学水平就可以阅读本文,如果你是对数学没有任何认识的小学生,这篇文章还是不适合你去阅读的,请赶快撤离~

何为数学?

首先,为了真正理解数学,你得先明白数学是什么东西。

数学分为代数几何

这两个家伙很奇怪,有的时候他们看起来一点关系都没有,但是这个时候他们也许就会有关系。

例如这道题目就可以很合理地解释代数和几何之间的关系。

一道几何题。在所有周长一定的四边形中,求面积最大图形的形状。

未知量是什么?一个四边形。

已知数据是什么?给定的四边形的周长。

条件是什么?要求的四边形比有相同周长的其他四边形的面积都大。

这个题目和一般的几何题有很大的不同,因此从猜测开始就很自然了。

怎样的四边形可能会有最大的面积?最简单的猜想是什么?我们可能听到过:所有周长相等的图形中圆的面积最大。我们甚至可以对这一陈述的合理性推测出某些理由来。那么,怎样的四边形最接近圆呢?怎样的四边形在对称性上最接近圆呢?

一个显而易见的猜测就应该是正方形。如果我们认真对待这个猜测

,那就应该明白它意味着什么。我们应该有勇气说:「在周长给定的所有四边形中,正方形的面积最大。」如果我们要来亲自去检验他,情况就改了:从原来的「求解题」变成了「证明题」,这仅仅在我们系统陈述自己猜测之后完成的。我们必须证明或者推翻我们得出的这个猜想。

如果我们不知道以前结果的哪一道题目和现在要解的题目相似,我们就会发现任务相当棘手了。如果你不能解所提的题目,先尝试去解谋道相关的题目。你能解出这道题的一部分吗?我们可能会想到,如果正方形在四边形中是特殊的,那么根据同一个事实,他在长方形(标准数学称矩形,下同)中也一定是特殊的。如果我们能证明这个问题:「在所有给定周长一定的矩形中,正方形的面积最大。」题目的一部分就被解决了。

这条猜想相比之前的更容易去着手,当然他也更弱一点。不管怎么说,我们都应该理解它意味着什么,应该有勇气更详细叙述他。我们用代数 的语言重新叙述会更加有好处。

两条邻边分别为 $a,b$ 的矩形的面积是 $ab$,它的周长是 $2a+2b$。

和上述矩形周长相等的正方形的边长为 $\dfrac{a+b}{2}$。那么,这个正方形的面积就是 $(\dfrac{a+b}{2})^2$,因此就有:
$$
(\dfrac{a+b}{2})^2>ab
$$
这是否正确?这一推断也可写成等价的形式:
$$
a^2+2ab+b^2>4ab
$$
而这是正确的,因为它和以下的两个式子等价:
$$
a^2-2ab+b^2>0
$$

$$
(a-b)^2>0
$$
这个不等式必定成立。除非 $a=b$,此时我们检验的矩形就变成了一个正方形。

我们的题目还没有解决,但正式通过正视那个比较明显的猜测,我们已经取得了一点进展。

如何解题?

从刚刚的一道题目中我们可以体会到:

  1. 题目有未知量,已知数据和条件,这三个量是题目的基本,故我们有三个问题:
    1. 未知量是什么?
    2. 已知数据是什么?
    3. 条件是什么?

这三个问题可以协助我们解题,让我们对题目有一个清晰的认识。

  1. 熟练地运用代数和几何,在解题的过程尝试把复杂问题简单化。

下面我们通过一段对话来探讨一下数学解题的方法。

熟悉题目

我应该从哪里开始?从题目的叙述开始。

我能做什么?尽可能清晰、生动地使整个题目形象化。暂时抛开细节。

这样做我能得到什么呢?你应该理解、熟悉题目,将目标引入脑海。对题目投入注意力,可能会激发你的记忆,并为重新回忆起相关的一些问题做准备。

深入理解题目

我应该从哪里开始?仍然从题目的叙述开始。当你对题目的叙述已经很清楚, 并在脑海里留下深刻的印象,以至于即使你有一回不去看他也不用担心把它忘掉的话,就可以开始了。

我能做什么?将题目的主要部分分离出来。前提和结论是一个「证明题」的主要部分;未知量、已知量是一个「求解题」的主要部分。仔细阅读题目的各个主要部分,一个接一个地一次对他们进行考虑,将它们以不同的方式组合起来加以考虑,把每个细节同其他一下细节以及整个问题和每个问题联系起来(这个在压轴题很管用)。

这样做我可以得到什么呢?你应该准备好并且弄清楚以后很可能起作用的细节。

寻求有用的思路

我应该从哪里开始?从考虑题目的主要部分开始。由于你之前所做的工作,当题目的那些主要部分已经被清楚的整理好,都想明白了,而你的记忆也活跃起来的时候就可以开始了。

我能做什么?你要从不同的方面来考虑题目,并且与你过去所获取知识之间的关系。

从不同的方面来考虑题目。强调不同的部分,考察不同的细节,从不同的途径反复考察同一个细节,以不同的方式组合这些细节,从不同的角度处理他们、尝试在每一个细节里面发现新的意义,在整体中发现新的解释。

寻找你过去所获知识之间的联系。


透过这些现象去看向本质,数学其实就会变得异常简单。


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