本文最后更新于:2020年6月16日 晚上

基本说明

定义

  • 只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是 $2$ 的整式方程叫做一元二次方程。
  • 一元二次方程的一般形式为 $ax^2+bx+c=0$。
  • 其中 $ax^2$ 叫做二次项,$a$ 是二次项系数;$bx$ 叫一次项,$b$ 是一次项系数,$c$ 是常数项。
  • 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的

解的情况

一元二次方程有且仅有两个根。其中这个根的情况由一元二次方程根的判别式 $\Delta$ 决定,其中 $\Delta=b^2-4ac$。

怎么样,看到这个 $b^2-4ac$,有没有特别熟悉?没错,这就是判断一个二次三项式能不能用十字相乘法进行因式分解的方法,当时是判断为完全平方数来确定的,其根本原因在之后将求根公式的时候会讲到。

根据 $\Delta$ 的正负性,有下面的:

$\Delta>0$,该方程有两个不同的实数根;

$\Delta=0$,该方程有两个相等的实数根;

$\Delta<0$ ,该方程有两个共轭复根

上述结论反之亦成立。

解法

直接开平方法

  1. 形如 $x^2=p$ 或 $(nx+m)^2=p(p≥0)$ 的一元二次方程可以使用直接开平方法解出。
  2. 如果方程化为 $x^2=p$ 的形式,那么 $x=±\sqrt{p}$。
  3. 如果方程化为 $(nx+m)^2=p(p≥0)$ 的形式,那么 $nx+m=±\sqrt{p}$,进而求出方程的根。
  4. 注意:
    1. 等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
    2. 降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
    3. 方法是根据平方根的意义开平方。

配方法

将一元二次方程配成 $(x+m)^2=n$ 的形式,再利用直接开平方法求解的方法就是配方法。

配方法的依据是完全平方公式:
$$
a^2+b^2+2ab=(a+b)^2
$$

公式法

使用求根公式求解的方法叫做公式法

一般步骤
  1. 把方程化为一般形式 $ax^2=bx+c=0$,确定 $a,b,c$。
  2. 求出判别式 $\Delta$ 的值,判断根的情况。
  3. 如果 $\Delta ≥0$,把 $a,b,c$ 代入求根公式 $x_{1,2}=\dfrac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 中求得原一元二次方程的根。
推导过程

$$
ax^2+bx+c=0(a≠0)
$$

$$
x^2+\dfrac{b}{a}x+c=0
$$

约分:
$$
x^2+2\cdot x\cdot \dfrac{b}{2a}+(\dfrac{b}{2a})^2=-\dfrac{c}{a}+(\dfrac{b}{2a})^2
$$

配方:
$$
(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}
$$
通分:
$$
(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}
$$
开平方:
$$
x+\dfrac{b}{2a}=±\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}
$$
进而得到求根公式。

为什么有「十字相乘法」的特殊条件

十字相乘法是利用整除来确定的,一定是整数,所以说要避免 $\sqrt{\Delta}$ 的非整数情况,所以仅当 $\Delta$ 是完全平方数的时候才能进行十字相乘。

因式分解法

将原来的式子因式分解后即可变成 $(x+a)(x+b)=0$ 的形式,然后直接分别代入就可以求出方程的根了。

拓展延伸

韦达定理

设一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a,b,c \in \mathbb{R},a≠0)$ 中,两个根 $\alpha ,\beta$ 有如下的关系:
$$
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}
$$

$$
\alpha\beta=\dfrac{c}{a}
$$

这两个公式都可以通过求根公式推导出来。

一元二次方程的图像解法

  1. 一元二次方程根的几何意义是二次函数。其图像是一条抛物线
    1. 当 $\Delta>0$ 的时候,该函数与 $x$ 轴相交。
    2. 当 $\Delta<0$ 的时候,该函数与 $x$ 轴相切。
    3. 当 $\Delta<0$ 的时候,该函数与 $x$ 轴相离。
  2. 第二种方法是将方程变成 $x^2=-\dfrac{b}{a}x-\dfrac{c}{a}$ 的形式,则方程的根就是函数 $y=x^2$ 和 $y=-\dfrac{b}{a}x-\dfrac{c}{a}$ 交点的 $x$ 坐标,通过作图可以求得近似值。

计算机程序解法

计算机的基本思路还是按照求根公式,下面给出 C++ 语言的例子:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int main() {
 
    float a, b, c, x1, x2, discriminant, realPart, imaginaryPart;
    cout << "输入 a, b 和 c: ";
    cin >> a >> b >> c;
    discriminant = b*b - 4*a*c;
    
    if (discriminant > 0) {
        x1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2*a);
        x2 = (-b - sqrt(discriminant)) / (2*a);
        cout << "Roots are real and different." << endl;
        cout << "x1 = " << x1 << endl;
        cout << "x2 = " << x2 << endl;
    }
    
    else if (discriminant == 0) {
        cout << "实根相同:" << endl;
        x1 = (-b + sqrt(discriminant)) / (2*a);
        cout << "x1 = x2 =" << x1 << endl;
    }
 
    else {
        realPart = -b/(2*a);
        imaginaryPart =sqrt(-discriminant)/(2*a);
        cout << "实根不同:"  << endl;
        cout << "x1 = " << realPart << "+" << imaginaryPart << "i" << endl;
        cout << "x2 = " << realPart << "-" << imaginaryPart << "i" << endl;
    }
 
    return 0;
}

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