本文最后更新于:2020年6月14日 上午

基本说明

反比例函数

一般地,如果两个变量 $x,y$ 之间的关系可以表示成 $y=\dfrac{k}{x}$ 的形式($k$ 是常数,$k≠ 0,x≠ 0$),那么称 $x$ 是反比例函数的自变量,$y$ 是 $x$ 的函数,$k$ 为反比例函数的系数

反比例函数的图像

性质

  • 反比例函数的图像是双曲线
  • 当 $k>0$ 时,两条分支分别位于第一、三象限内,$y$ 随着 $x$ 的增大二减小;$k<0$ 时,两条分支分别位于第二、四象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
  • 两个分支无线逼近于 $x,y$ 轴,但是永远不会相交。

画法

列表

结合反比例函数解析式,列出当自变量 $x$ 取一定值的时候 $y$ 对应的值,例如反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的表格如下:

$x$$y$
$\cdots$$\cdots$
$-1$$-2$
$0$无意义
$1$$2$
$2$$1$
$3$$\dfrac{2}{3}$
$\cdots$$\cdots$

标点

平面直角坐标系内将表格中得到的点 $(x,y)$ 标出来。

连线

平滑的曲线将点链接。

反比例系数 $k$ 的几何意义

过反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图像上任意一点 $P(x,y)$ 分别作 $x,y$ 轴的垂线,则两个垂足,原点 $O$ 和点 $P$ 组成的矩形的面积为 $|k|$。

过反比例函数图像上任意一点,做任一坐标轴的垂线,链接原点 $O$,此时构成三角形的面积为 $\dfrac{|k|}{2}$。

反比例函数的对称性

反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点;反比例函数的图象也是轴对称图形,其对称轴为 $y=±x$;反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。

综合运用

解题一般步骤

设函数解析式

这一步有的时候在题目中已经给好了,即设反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{k}{x}$,之后利用待定系数法解题。

待定系数法

之前的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}$,当知道一个在反比例函数图像上的点的坐标的时候,将该点的坐标代入反比例函数的解析式中,利用等式的基本性质一求得反比例系数 $k$ 的值。

享用吧

得到了反比例函数的解析式后,一切都会变得非常简单,可以利用系数 $k$ 的几何意义等等去解题,也可以利用解析式进行进一步求解。

练习

  1. 如图,$O$ 是坐标原点,菱形 $OABC$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(-3,4)$,顶点 $C$ 在 $x$ 轴的负半轴上,函数 $y=\dfrac{k}{x}(x<0)$ 的图像经过顶点 $B$,则 $k$ 的值为___

  1. 如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,点 $A,B$ 分别在 $x,y$ 轴上,$\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{3}{4}$,$\angle AOB$ 的平分线与 $OA$ 的垂直平分线交于点 $C$,与 $AB$ 交于点 $D$,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图像经过点 $C$,当以 $CD$ 为边的正方形的面积是 $\dfrac{2}{7}$ 时,$k$ 的值为___

  1. 在平面直角坐标系的第一象限内,边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 的边均平行于坐标轴,点 $A$ 的坐标为 $(a,a)$。若曲线 $y=\dfrac{3}{x}(x>0)$ 与此正方形的边有交点,则 $a$ 的取值范围时是__
  2. 点 $(a-1,y_1),(a+1,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k>0)$ 的图像上,若 $y_1<y_2$,则 $a$ 的取值范围是_____
  3. 若 $a,b \in \mathbb{Q}$,$a,b≥0$,则 $a+b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当 $a=b$ 时, “$=$”成立。
    • 请证明这个结论;
    • 已知 $x>0$,求函数 $y=2x+\dfrac{2}{x}$ 的最小值;
    • 汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度,某种跑车在每小时 $70 \text{ km} \text{~} 110 \text{ km}$ 之间行驶的时候,每千米耗油 $(\dfrac{1}{18}+\dfrac{450}{x^2})\text{L}$。若该汽车以每小时 $x \text{ km}$ 的速度匀速行驶,$1 \text{ h}$ 的耗油量为 $y \text{ L}$;
      • 求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式;
      • 利用上述材料,求这个汽车的经济时速,并求出当跑车以经济时速形式的时候,每 $100 \text{ km}$ 的耗油量(保留一位小数)。

后记

做好了练习欢迎留言哦,将会告诉您对错~。


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