本文最后更新于:2020年6月13日 晚上

什么是「分母有理化」

分母有理化,简称有理化,指的是将该原为无理数的分母化为有理数的过程,也就是将分母中的根号化去。有理化后通常方便运算,有理化的过程可能会影响分子,但分子及分母的比例不变。

上述内容来自百度百科。


简单地说,分母有理化就是把原来形如 $\dfrac{a}{b}$ 的分数(其中 $b∈\mathbb{R}$ 并且 $b \notin \mathbb{Q}$ 并且 $b ≠0$)变成 $\dfrac{m}{n}$ 的形式(其中 $n∈\mathbb{Q}$ $\texttt{并且}$并且 $b≠0$)。

引入

典型例题

「分母有理化」是我们常用的一种化简的方法,如:$\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{(2+\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=7+4\sqrt{3}$。除此之外,我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数,如:对于 $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$,设 $x=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$,易知 $\sqrt{3+\sqrt{5}}>\sqrt{3-\sqrt{5}}$,故 $x>0$。由 $x^2=(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=2$,解得 $x=\sqrt{2}$,即 $\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{2}$。请根据以上方法,化简:$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt{6-3\sqrt{3}}-\sqrt{6+3\sqrt{3}}$。

解析

$$
\begin{align}\text{原式}&=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{6}-\sqrt{6},\ &=5-3\sqrt{6}.\ \end{align}
$$

重点讲解

通过刚刚的实际的例子,相信你已经知道了题目中的 2 种关于「分母有理化」的方法,让我们一起来梳理一下:

例题中给出的方法

形如 $\dfrac{a+\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}$ 的分母有理化方法

题目中的基本思想是利用分式的基本性质,在分子和分母上面同时去乘上一个 $a+\sqrt{b}$ ,将原来的分式化成 $\dfrac{(a+\sqrt{b})^2}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})}$,利用平方差公式将分母变成 $a^2-b$,从而达到「分母有理化」的目的。

形如 $\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}$ 的分母有理化方法

题目中的基本思想是将这个玩意整体平方,通过完全平方公式展开并化简完毕之后再对它进行开方,就可以得到这个东西了。

这里就是要注意,开方后数的正负性,这应该在平方前就可以判断完毕了。

一些其他的方法

单项式

应用一般根号运算:

img

img

二项式

应用平方差公式:

img

img

应用立方和、立方差公式:

img

img

多项式

逐项有理化

img

辗转相除法

img

有理化

img

img

img

img

待定系数法

img

,求

img

img

img

img

img

常规方法

下面介绍两种分母有理化的常规方法,基本思路是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号。

分母是单项式

例如二次根式

img

,下面将之分母有理化:

img

分子分母同时乘以$\sqrt{2}$,分母变为2,分子变为$2\sqrt{2}$,约分后,分数值为$\sqrt{2}$。在这里我们想办法把$\sqrt{2}$2化为有理数,只要变为它的平方即可。

分母是多项式

再举一个分母是多项式的例子,如

img

,下面将之分母有理化:

img

思路仍然是将分子分母同乘相同数。这里使用平方差公式,同时乘上√2+1,分子变为2√2+2,分数值为2√2+2,再约分即可。也就是说,为了有理化多项式的分母,原来分母是减号,我们乘上一个数字相同但用加号连接的式子,再用平方差公式。

此方法可应用到根式大小比较中去。

后记

感谢百度百科-分母有理化。

加油中考 :muscle:!


本文在 CC BY-NC-ND 4.0( https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.zh )协议 的前提下,禁止超过文章30%字数的摘录(对于不超过文章30%字数的摘录,要求在醒目位置注明原文作者与原文链接),同时,在未经作者本人手写签名许可的情况下,禁止任何形式的全文转载,禁止发布任何基于本文的再创作。

反比例函数详解 上一篇
CarYon使用文档 下一篇
本博客采用 xCss 的 Valine 评论系统,搭配了 Valine-Admin,垃圾评论将会被过滤。所以在评论的时候,请注意您的语言。如果您的评论被过滤但并非垃圾评论,请发邮件到 luosiweimail@gmail.com 进行申诉。